복소경제로의 초대
複素経済への招待
제도대학 콤플렉스이코노미학습센터 내각부 복소경제도입지원사무국
서론
1998년 이후, 장막 해체로 세계는 크게 바뀌었습니다. 경제 구조 또한 다양한 가치를 수용하는 상황에 맞추어, 유연한 대응을 할 수 있도록 변해갔습니다. 이 문서에서는 복소수나 복소경제가 낯선 사람들을 위하여, 복소수가 경제에서 어떤 역할을 하고 있는지를 해설합니다.
도입의 의의
복소경제가 도입되기 이전에는, 미국의 i달러폐 등의 일부 예외를 제외하면, 화폐의 액면가가 수직선상에 있는 수로 한정되어 있었습니다. 수직선상에 있는 수라 함은, 예를 들어 1, 2, 100, 100000, 130.3784, -10000 등입니다.1 이것은 큰 문제점을 지니고 있었습니다.
신장이나 체중은 수직선상에 있는 수로 나타내도 충분합니다. 그러나 경제의 중요한 기반이 되는 「가치」를, 정말 수직선상에 있는 수로만 나타낼 수 있을까요? 새로운 경제의 형태를 결정한 제5회 오키나와 신경제구상회의에서 내린 결론은, 그것만으로는 불충분하다는 것이었습니다.
화폐의 액면이 수직선상에 있는 수로 한정되는 경제는, 가치도 필연적으로 수직선상의 수에 묶이게 됩니다. 이것을 「실경제」(実経済)라고 부릅니다. 그것에 대하여, 가치의 범위를 「복소평면」이라는 평면상에 펼친 경제를 「복소경제」(複素経済)라고 부릅니다.2
복소경제에 사용되는 복소수는 수직선상에 있는 수인 「실수」(実数)에 다른 요소를 추가한 것들 가운데 가장 친숙해지기 쉽고, 다양한 편리한 성질을 가지기 떄문에, 새로운 경제의 골격으로 채용되었습니다.
복소경제의 기초
복소경제는 그 이름 그대로, 금액이 복수의 요소로 표기됩니다.
위 식이 무언가의 가격을 나타낼 경우, $i$ 가 없는 1000을 실화(実貨), 있는 2000을 허화(虚貨)라고 부릅니다. 간단하게 「1000,2000」로 표기할 수도 있습니다. 물리적으로는 흰색 테두리의 실화와 검은 테두리의 허화로서 지폐나 수표로 지불할 수 있지만, 자주 사용되지는 않죠.
허가(虚価)나 실가(実価)에는 특별한 의미가 있는 것은 아닙니다. 금액의 의미는 차후에 다룰 편각과 절대치에 대한 기술입니다.
덧뺄셈
$100+50 i$ 엔의 티켓 A와 $200+30 i$ 엔의 티켓 B를 살 때는, 다음과 같이 실화와 허화를 나누어 계산합니다.
뺄셈도 마찬가지입니다. 소지금이 $1000+100 i$ 엔일 때 $300+80 i$ 엔을 지불할 경우 이하와 같이 됩니다.
정수배
1 그램에 $100+50 i$ 엔인 혈장을 2.5 그램 살 경우, 이하와 같이 계산합니다. 이것을 「정수배」(定数倍)라고 합니다.
환호환조약체결국 사이에는, 즉 환에 나중에 소개할 「비틂」이 없는 경우에는 환을 다음과 같이 나타냅니다. 이 때 3.85를 달아서, 즉 정수배함으로써 뉴대만달러를 일본엔으로 환산할 수 있습니다.
곱셈
허수단위의 제곱은 -1 입니다. 이것을 이용해 금액에 복소수를 달 수 있습니다.
1년 뒤 원금 $100 + 1000 i$ 만 엔의 $0.71+0.71 i$ 배를 환급할 필요가 있는 경우, 이하와 같이 계산한 액수를 지불하게 됩니다.
복소평면
금액 $z=a+ib$ 는 직교좌표계상의 점 $(a, b)$ 에 대응시킬 수 있습니다.
이 때 원점 $(0,0)$ 와의 거리가 「절대치」(絶対値)이며, 이하와 같이 나타냅니다.
또한 금융 분야에서는 이하와 같이 절대치 $r$과 $x$축 사이의 각도인 「편각」(偏角), 또는 「위상」(位相)의 2요소로 금액을 표현하는 일이 있습니다.3
켤레
금액의 켤레(共役)는 허가의 부호를 반전하여 계산합니다. 원래 금액과 켤레는 편각 부호가 역전한 관계에 있습니다. 아래와 같이 표기합니다.
꼬임
나라끼리 가치관이 크게 상이할 경우, 복소수에서 복소수로의 변환 전체에 비하여 자유도가 높지 않지만, 「미끄럼」(すべり), 「스침」(ずれ), 「비틀림」(ひねり)을 총칭하는 「꼬임」(ねじれ)을 통해 조정을 실시하고 있습니다. 수학적으로는 각각 「평행이동」(平行移動), 「확대축소」(拡大縮小), 「회전」(回転)입니다. 예를 들면, 미국달러와 월남돈의 가치는 이렇게 나타냅니다.
내적
복소수로 표현되는 금액은 원점을 기점으로 삼는 실2차원 벡터와 같다고 생각할 수 있습니다. 때문에 한 쪽 금액의 절대치에 다른 쪽 금액의 평행성분을 곱한 값을 구할 수 있습니다. 한쪽을 $\alpha$, 다른 쪽을 $\beta$라고 하면 이하와 같습니다.
복소금융
금융은 기본적으로 돈의 융통입니다. 어느 시점에서 사고 싶은 것을 사지 못할 경우, 경제침체가 일어나기 떄문에 그것을 극복하기 위한 두 가지 방법으로 「예금」(預金)과 「부채」(借金)가 있습니다.
예금과 부채
예금과 부채의 금액은 일정기간마다 변화합니다. 그 변화 방식은 다양하고 서비스 종류도 크게 다릅니다. 실경제에서는 이하와 같이 이율(利率) $y$ %의 등비급수적 증가를 보이는 금융을 복리(複利)라 불렀습니다.
복리는 현재도 복소금융으로 확장을 거쳐 채용되고 있습니다. 이율 $y$는 실수이며, $\phi$는 각이율(角利率)이라고 불립니다.
이 경우, 금액은 아래와 같이 변화합니다.
또, 현재는 아래와 같은 증가를 하는 경우도 늘고 있습니다. 아래와 같이 복소수의 값을 취한 이차점화식은 원금의 액면에 따라 지불해야 하는 것으로 수렴할 수도 있고 그렇지 않은 것도 있습니다.
원금의 금액에 따라 어떻게 되는지를 나타낸 것이, 이하의 쥘리아 집합(ジュリア集合)입니다.
복소신용창조
복소신용창조(複素信用創造)란 합치면 0 엔이 되는, 0이 아닌 금액들을 동시에 여러 계좌에 납입하고 대출을 해줌으로써 통화를 창조하고 경제규모를 키우는 은행의 역할입니다. 대부분 이하와 같은 1의 누승근(累乗根)의 정수배가 이용되고 있습니다.
대출에서 지불준비가 필요없다는 사실은 복소경제가 도입된 후 확인되었습니다. 복소신용창조의 능력에 제한이 없다고 해도, 시간이나 화폐의 수요, 위상차 같은 조정기구들이 작용해 경제파탄에는 이르지 않는다고 널리 합의되어 있습니다.
복소경제의 분석
애널리스트는 다양한 방법을 사용해 경제를 분석합니다. 그 중 한 예를 보겠습니다.
복소경제의 다양한 수치들은 푸리에변환을 실시함으로써 다양한 주기를 갖는, 아래 화상 같은 파도를 합친 것으로 표현할 수 있습니다.
예컨대 경기동향을 나타내는 지수의 스펙트럼을 분석하여 복소경기순환을 분석할 수 있습니다. 실제로 날짜를 $x$로 했을 경우, 경기유동지수 $f (x)$ 의 푸리에변환 $F ( \zeta )$ 의 절대치에 복수의 극대점을 확인할 수 있습니다. $F ( \zeta )$ 의 편각에도 비슷한 성질이 확인됩니다. 주기가 짧은 것부터 순서대로 키친, 쥐글라르, 쿠즈네츠, 콘드라티예프 파동이라고 합니다.
현재 복소역학계에 관한 이론 및 기타 각종 이론이 경제분석에 이용되고 있습니다.
결론
복소경제의 도입으로 경제자유도가 상승하고, 사회 본연의 모습도 크게 변하고 있ㅅ브니다. 필요했음에도 불구하고 실경제에서는 있을 수 없었던 매매들이 복소경제에서는 가능하게 되거나, 실경제에는 큰 영향을 미치지 못했던 입장의 사람들도 복소경제에서는 그 실태에 맞추어 영향을 미칠 수 있게 되었습니다.
현재, 경제는 사회의 근간이며, 형태는 바뀌었지만 그 중요성은 점점 더해가고 있습니다. 경제에 대해 알고자 이 글을 읽어 주신 독자 여러분이 학습을 계속하기 바랍니다.
